Teoría de Control

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La teoría de control es un campo interdisciplinario de la ingeniería y las matemáticas, que trata con el comportamiento de sistemas dinámicos. A la entrada de un sistema se le llama referencia. Cuando una o más variables de salida de un sistema necesitan seguir cierta referencia sobre el tiempo, un controlador manipula la entrada al sistema para obtener el efecto deseado en la salida del sistema (retroalimentación). La retroalimentación puede ser negativa (regulación autocompensatoria) o positiva (efecto "bola de nieve" o "círculo vicioso"). Es de gran importancia en el estudio de la ecología trófica y de poblaciones.

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Constante de Tiempo

Ésta es la simulación de la modificación del nivel de mercurio en un termómetro, causada por un cambio en la temperatura de que rodea al mismo. Se muestran dos termómetros, con carácterísticas idénticas pero con una constante de tiempo diferente. La respuesta del presente sistema viene dada por la respuesta transiente de un sistema de control de primer orden a una entrada escalón:

Y(t) = A * (1 - e-t/τ)

donde
A = Valor Final - Valor Inicial
τ = constante de tiempo del sistema
La constante de tiempo del sistema se define de la forma: τ = mC/hS
donde m = masa del mercurio
C = capacidad calorífica del mercurio
h = coeficiente de transferencia de calor del film que rodea el bulbo
S = área del bulbo para transferencia de calor

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Sistema de carrito, resorte y amortiguador

Ésta es la simulación del movimiento de un carrito de masa m situado en el extremo de un resorte de longitud L y masa despreciable, que está unido a un dispositivo amortiguador. El movimiento se restringe al eje horizontal. (Hemos elegido un sistema de coordenadas en el plano con origen establecido en el extremo fijo del resorte y con el eje X en la dirección del mismo)

Asumimos que la reacción del resorte al desplazamiento (x-L) desde la posición de equilibrio puede modelarse mediante la Ley de Hooke, R = -K * (x-L) , donde K es una constante que depende de las características físicas del mismo. La fuerza que ejerce el amortiguador depende de la velocidad del carrito, y puede definirse como A = -C * dX/dt, donde C es una constante positiva llamada coeficiente de amortiguamiento. Entonces, usamos la segunda Ley de Newton para obtener una ecuación diferencial de segundo orden para la posición de la partícula: d2x / dt2 = -K/m *(x-L) - C*vx/m, donde x es la posición horizontal del extremo libre del resorte. En la simulación resolvemos numéricamente esta ecuación y visualizamos los resultados.

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Sistema de Avión

Ésta es la simulación del movimiento de un avión ante una entrada escalón. Suponemos que la respuesta se puede aproximar mediante un sistema de segundo orden. Las características de dicha respuesta dependen del parámetro Coeficiente de Amortiguamiento (ξ), y se distinguen tres casos:

Caso I
ξ < 1 Las raíces son complejas, y la respuesta es oscilatoria (subamortiguada)

Caso II
ξ = 1 Las raíces son reales e iguales, y la respuesta está críticamente amortiguada.

Caso III
ξ > 1 Las raíces son reales, y la respuesta no es oscilatoria (sobreamortiguada).

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Distintos sistemas de 1er orden con la misma Función de Transferencia

En esta simulación queremos mostrar que distintos sistemas físicos de 1er orden se comportan de equivalente forma ante el mismo cambio de entrada. La respuesta de dichos sistemas viene dada por la respuesta transiente de un sistema de control de primer orden a una entrada escalón:
Y(t) = A * (1 - e-t/τ)
donde
A = Valor Final - Valor Inicial
τ = constante de tiempo del sistema
La constante de tiempo del sistema se define en forma particular para cada uno de los distintos sistemas físicos.

Para el sistema del termómetro es
τ = m*C / h*S
donde m = masa del mercurio
C = capacidad calorífica del mercurio
h = coeficiente de transferencia de calor del film que rodea el bulbo
S = área del bulbo para transferencia de calor

Para el sistema del nivel de líquido en un tanque es
τ = U*R
donde U = área transversal uniforme del tanque
R = resistencia de corriente de líquido del tubo adjunto al tanque

Para el sistema de proceso de mezclado es
τ = V / q
donde V = volumen constante del tanque de retención
q = velocidad de la corriente de líquido que ingresa al tanque

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Control Crucero

El control crucero es un sistema que controla de forma automática el factor de movimiento de un vehículo de motor. El conductor configura la velocidad y el sistema controlará la aceleración del vehículo para mantener la velocidad de forma continua.

Un control de crucero que se limitara a pisar el acelerador a tope y soltarlo de golpe al alcanzar la velocidad deseada sería muy incómodo y probablemente inseguro. Estaríamos todo el tiempo experimentando acelerones bruscos, con las correspondientes sacudidas. Además, el cambio en el reparto del peso que se produce al acelerar o dejar de acelerar bruscamente podría hacernos perder el control del vehículo en las curvas, creando un grave problema de seguridad vial. La solución a todo esto es una tecnología que existe desde finales del siglo XIX: el regulador PID.

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Control de Trafico

La intención de este ejemplo es demostrar la diferencia de un sistema controlado en lazo abierto y otro controlado de forma realimentada. La simulación posee dos avenidas: La avenida inferior es controlada por un sistema en lazo abierto donde la señal de entrada es el tiempo asignado a cada luz (rojo, amarilla y verde) de cada una de las calles. El sistema cambia las luces según el tiempo indicado, sin importar que la cantidad de tránsito varíe en las calles Para controlar la avenida superior, utilizamos un controlador PID (lazo cerrado) con el objetivo de agilizar el tráfico de la misma. Este controlador tiene como entrada la cantidad máxima de autos tolerable en cola, para garantizar una fluidez adecuada

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